Luas Segi-n Beraturan, Jari-Jari Lingkaran dan Lingkaran dalam Segitaga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

 

- Luas Bangun Segi n Beraturan

Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan akan menjadi seperti di bawah ini:

Dari persamaan tersebut dapat diperoleh rumus luas segi n beraturan seperti berikut ini:

contoh soal

Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?

Diketahui : r = 9 cm; n = 12
Ditanyakan : Luas = ?
Jawab :
Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut dapat dilakukan dengan rumus seperti di bawah ini:
Luas = n/2 r² sin 360º/n
          = 12/2 x 9² x sin 360º/12
          = 6 x 81 x sin 30º
          = 6 x 81 x ½ 
          = 243 cm²
Jadi luas segi 12 beraturan tersebut ialah 243 cm².

JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA

- Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga diberikan seperti persamaan di bawah.

- Lingkaran Luar Segitiga

Bentuk berikutnya adalah sebuah lingkaran berjari-jari r yang terdapat di luar segitiga ABC. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat 3 titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. luar segitiga.

Sisi-sisi segitiga ABC memiliki panjang sisi sama dengan a, b, dan c. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Jari-jari lingkaran tersebut dapat dihitung menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar segitiga seperti persamaan di bawah.

contoh soal:

1. Perhatikan gambar di bawah!

Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….

Pembahasan:

Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga. Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

Menghitung sisi miring AC:
AB2 = AC2 + BC2
= 82 + 152
= 64 + 225
AB2 = 289
AB = √289 = 17 cm

Menghitung keliling segitiga ABC:

KΔABC = AB + AC + BC
KΔABC = 17 + 8 + 15 = 40 cm

Mencari nilai nilai s:
s = 1/2 × KΔABC
s = 1/2 × 40 = 20 cm

Mencari luas segitiga ABC:
LΔABC = 1/2 × AC × BC
LΔABC = 1/2 × 8 × 15 = 60 cm2

panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut sama dengan r = LΔABC/s= 60/20 = 3 cm

Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran

- Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB.

Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran.

Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P2 = OP2 ‒ P’O2 dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P2 = OP2 ‒ (R ‒ r)2.

Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.

- Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.

Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan antara P’O, P’P, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu P’P2 = OP2‒ P’O2. Karena PO’ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam P’P2 = OP2‒ (R + r)2

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

contoh soal

1. Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah …

Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.

Diketahui bahawa,

• Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran: AB = 24 cm
• Jarak keuda pusat lingkaran: OP = 26 cm
• Panjang jari-jari lingkaran besar: OA = 18 cm
• Panjang jari-jari lingkaran kecil: OB = r

Menghitung panjang garis singgung AB:

AB2 = OP2 ‒ (OA ‒ r)2
242 = 262 ‒ (18 ‒ r)2
676 = 576 ‒ ( 18 ‒ r)2
(18 ‒ r)2 = 676 ‒ 576
(18 ‒ r)2 = 100
18 ‒ r = 10
‒r = 10 ‒ 18
‒r = ‒8 → r = 8 cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

2. Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.

• Panjang jari-jari lingkaran besar: R = 10 cm
• Panjang jari-jari lingkaran kecil: r = 5 cm
• Jarak kedua pusat lingkaran: OP = 25 cm

Menghutng panjang garis singgung AB:
AB2 = OP2 ‒ PC2
AB2 = OP2 ‒ ( R + r )2
= 252 ‒ ( 10 + 5)2
= 625 ‒ 225
AB2 = 400
AB = √400 = 20 cm

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.

daftar pustaka

http://www.antotunggal.com/2021/10/contoh-rumus-luas-segi-n.html

https://idschool.net/smp/lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

https://idschool.net/smp/garis-singgung-lingkaran/